GermanWikipedia - /page/entry.mu

<!DOCTYPE html>

<title>Impuls</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Impuls</h1>

</header>

</div>

<th colspan="2" style="background:#ABCDEF; color:inherit;"><a href="Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fe" title="Physikalische Größe">Physikalische Größe</a>

</th></tr>

<tr>

<td style="width:130px;">Name

</td>

<td>Impuls

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Formelzeichen" title="Formelzeichen">Formelzeichen</a>

</td>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84fee53c81592db54e0fe6c6f9eba002bb1dc74b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.415ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<th><a href="Gr%C3%B6%C3%9Fensystem" title="Größensystem">Größen-</a> und <a href="Einheitensystem" title="Einheitensystem">Einheitensystem</a>

</th>

<th><a href="Ma%C3%9Feinheit" title="Maßeinheit">Einheit</a>

</th>

<th><a href="Dimension_(Gr%C3%B6%C3%9Fensystem)" title="Dimension (Größensystem)">Dimension</a>

</th></tr>

<tr>

</td>

</td>

<td><a href="Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">M</a>·<a href="L%C3%A4nge_(Physik)" title="Länge (Physik)">L</a>·<a href="Zeit" title="Zeit">T</a>−1

</td></tr>

</tbody></table>

</td></tr>

</tbody></table>

Der Impuls ist eine grundlegende <a href="Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fe" title="Physikalische Größe">physikalische Größe</a>, die den <a href="Translation_(Physik)" title="Translation (Physik)">geradlinigen</a> Bewegungszustand eines physikalischen Objekts charakterisiert. Der Impuls ist umso größer, je größer die <a href="Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">Masse</a> und die Geschwindigkeit des Objektes ist. Damit steht der Impuls für das, was in der Umgangssprache unscharf mit „Schwung“ und „Wucht“ bezeichnet wird.

Das <a href="Formelzeichen" title="Formelzeichen">Formelzeichen</a> des Impulses ist meist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> (von <a href="Latein" title="Latein">lateinisch</a> pellere ‚stoßen oder treiben‘). Die Einheit ist im <a href="Internationales_Einheitensystem" title="Internationales Einheitensystem">Internationalen Einheitensystem</a> [p] = <a href="Kilogramm" title="Kilogramm">kg</a>·<a href="Meter" title="Meter">m</a>·<a href="Sekunde" title="Sekunde">s</a>−1 = <a href="Newton_(Einheit)" title="Newton (Einheit)">N</a>·<a href="Sekunde" title="Sekunde">s</a>.

Im Unterschied zur <a href="Kinetische_Energie" title="Kinetische Energie">kinetischen Energie</a> ist der Impuls eine <a href="Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fe#Skalare,_Vektoren_und_Tensoren" title="Physikalische Größe">vektorielle Größe</a> und hat damit einen Betrag und eine Richtung. Seine Richtung ist die Bewegungsrichtung des Objekts. Sein Betrag ist in der <a href="Klassische_Mechanik" title="Klassische Mechanik">klassischen Mechanik</a> durch das Produkt aus der Masse des Körpers und der <a href="Geschwindigkeit" title="Geschwindigkeit">Geschwindigkeit</a> seines <a href="Massenmittelpunkt" title="Massenmittelpunkt">Massenmittelpunkts</a> gegeben. In der <a href="Spezielle_Relativit%C3%A4tstheorie#Impuls_und_Energie" title="Spezielle Relativitätstheorie">relativistischen Mechanik</a> gilt eine andere Formel, die für Geschwindigkeiten weit unterhalb der <a href="Lichtgeschwindigkeit" title="Lichtgeschwindigkeit">Lichtgeschwindigkeit</a> näherungsweise mit der klassischen Formel übereinstimmt. Sie schreibt aber auch masselosen Objekten, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, einen Impuls zu. Ein Beispiel dafür sind <a href="Photon" title="Photon">Photonen</a>.

Der Impuls eines <a href="K%C3%B6rper_(Physik)" title="Körper (Physik)">ausgedehnten Körpers</a> charakterisiert ausschließlich die <a href="Translation_(Physik)" title="Translation (Physik)">Translationsbewegung</a> seines Massenmittelpunkts. Eine <a href="Rotation_(Physik)" title="Rotation (Physik)">Rotation</a> um den Massenmittelpunkt wird durch den <a href="Drehimpuls" title="Drehimpuls">Eigendrehimpuls</a> beschrieben. Der Impuls ist eine <a href="Superposition_(Physik)" title="Superposition (Physik)">additive Größe</a>. Der Gesamtimpuls eines Objekts mit mehreren Bestandteilen ist die Vektorsumme der Impulse seiner Teile.

Der Impuls hängt, wie die Geschwindigkeit und die kinetische Energie, von der Wahl des <a href="Bezugssystem" title="Bezugssystem">Bezugssystems</a> ab. In einem fest gewählten <a href="Inertialsystem" title="Inertialsystem">Inertialsystem</a> ist der Impuls eine <a href="Erhaltungsgr%C3%B6%C3%9Fe" class="mw-redirect" title="Erhaltungsgröße">Erhaltungsgröße</a>, das heißt: Ein Objekt, auf das von außen keine <a href="Kraft" title="Kraft">Kräfte</a> wirken, behält seinen Gesamtimpuls nach Betrag und Richtung bei. Üben zwei Objekte wechselseitige Kräfte aufeinander aus, z. B. bei einem <a href="Sto%C3%9F_(Physik)" title="Stoß (Physik)">Stoßvorgang</a>, ändern sich ihre beiden Impulse in entgegengesetzter Weise so, dass ihre vektorielle Summe erhalten bleibt. Die Größe, um die sich der Impuls für eines der Objekte ändert, wird als Impulsübertrag bezeichnet. Im Rahmen der klassischen Mechanik ist der Impulsübertrag unabhängig von der Wahl des Inertialsystems.

Der Impulsbegriff entwickelte sich aus der Suche nach dem Maß für die in einem physikalischen Objekt vorhandene „Menge an Bewegung“, die aller Erfahrung nach bei allen inneren Prozessen erhalten bleibt. Daraus erklären sich die heute veralteten Bezeichnungen Bewegungsgröße oder Bewegungsmenge für den Impuls. Mit diesen Bezeichnungen konnte ursprünglich auch die <a href="Kinetische_Energie" title="Kinetische Energie">kinetische Energie</a> gemeint sein; erst Anfang des 19. Jahrhunderts wurden die Begriffe sauber unterschieden. Im Englischen wird der Impuls momentum genannt, während impulse den Impulsübertrag (Kraftstoß) bezeichnet.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition,_Zusammenhänge_mit_Masse_und_Energie">Definition, Zusammenhänge mit Masse und Energie</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Klassische_Mechanik">Klassische Mechanik</h3></div>

In der klassischen Mechanik ist der Impuls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84fee53c81592db54e0fe6c6f9eba002bb1dc74b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.415ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}}" loading="lazy"> eines <a href="Punktteilchen" class="mw-redirect" title="Punktteilchen">Punktteilchens</a> gegeben durch das Produkt seiner Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> mit seiner Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}" loading="lazy">:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e41e3b934ccee493856c6caceb07f9a14013b86.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:7.729ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Da die Masse eine <a href="Skalar_(Mathematik)" title="Skalar (Mathematik)">skalare</a> Größe ist, sind Impuls und Geschwindigkeit Vektoren mit gleicher Richtung. Um die Geschwindigkeit eines Körpers (nach Richtung oder Betrag) zu ändern, muss sein Impuls geändert werden, da die Masse eine Erhaltungsgröße ist. Für die Änderung des Impulses ist eine <a href="Kraft" title="Kraft">Kraft</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef40edff397a115ecdce7d3518001dfcc7f37d9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.771ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}}" loading="lazy"> notwendig. Der Zusammenhang zwischen Kraft und Impuls lautet:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e08fd5a14a343881597664eae51b4e22ebb447a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:8.323ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}}" loading="lazy">;</dd></dl>

die Kraft ist die <a href="Differentialrechnung#Ableitungsfunktion" title="Differentialrechnung">Ableitung</a> des Impulses nach der Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy">. Anschaulicher lässt sich dies umgeformt darstellen:

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}(t_{2})={\vec {p}}(t_{1})+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t{\vec {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/792f24c0a1c1ff7cf788910e54336ca2bc802670.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; margin-left: -0.089ex; width:24.497ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}(t_{2})={\vec {p}}(t_{1})+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t{\vec {F}}}" loading="lazy">;</dd></dl>

der Impuls zu einer Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/749fee708b41e7079eabd50d61c8bf3e965db16f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{2}}" loading="lazy"> ist der Impuls zur Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb0768c0bd659f2f84fb5ef9f4b74f336123d915.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{1}}" loading="lazy"> zuzüglich des zeitlichen Integrals über die in der Zwischenzeit wirkenden Kräfte.

In einem System aus mehreren Punktteilchen ist der Gesamtimpuls die Summe aller einzelnen Impulse, das heißt:

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}_{\text{ges}}=\sum {\vec {p}}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/455b018ea12672582ae9ea2915248cc33836692b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; margin-left: -0.089ex; width:12.812ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}_{\text{ges}}=\sum {\vec {p}}_{i}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Für solche Systeme gilt stets, dass der Gesamtimpuls gleich dem Impuls eines Massenpunkts im <a href="Massenmittelpunkt" title="Massenmittelpunkt">Massenmittelpunkt</a> des Systems ist, der die Gesamtmasse des Systems auf sich vereint. Die Summe der Impulse der einzelnen Komponenten des Systems relativ zum Schwerpunkt verschwindet.

Aus dem Zusammenhang zwischen dem Impuls eines Körpers und der auf ihn gewirkten Kraft resultiert für die verrichtete <a href="Beschleunigungsarbeit" class="mw-redirect" title="Beschleunigungsarbeit">Beschleunigungsarbeit</a> auch ein Zusammenhang zum Impuls:

</mrow>

</munder>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W=\int \limits _{C}{\vec {F}}({\vec {s}})\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=\int \limits _{C}{\vec {F}}({\vec {s}})\,\mathrm {d} t\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {s}}}{\mathrm {d} t}}=\int \limits _{C}\mathrm {d} {\vec {p}}\cdot {\vec {v}}={\frac {1}{m}}\int \limits _{C}\mathrm {d} {\vec {p}}\cdot {\vec {p}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9c6676045ed06bf82ab92e3b7a27f8f8f3a18a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:60.861ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle W=\int \limits _{C}{\vec {F}}({\vec {s}})\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=\int \limits _{C}{\vec {F}}({\vec {s}})\,\mathrm {d} t\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {s}}}{\mathrm {d} t}}=\int \limits _{C}\mathrm {d} {\vec {p}}\cdot {\vec {v}}={\frac {1}{m}}\int \limits _{C}\mathrm {d} {\vec {p}}\cdot {\vec {p}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin ist die <a href="Integrationsvariable" class="mw-redirect" title="Integrationsvariable">Integrationsvariable</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {s}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {s}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/57ce74ecbbc0e198d0bb4b1b2ffc0cb9669b72e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {s}}}" loading="lazy"> der <a href="Ortsvektor" title="Ortsvektor">Ortsvektor</a> des Körpers, der den Weg <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> entlanggeführt wird.

Diese Beschleunigungsarbeit ist die <a href="Kinetische_Energie" title="Kinetische Energie">kinetische Energie</a>. Es folgt

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\text{kin}}={\frac {{\vec {p}}^{\,2}}{2\,m}}={\frac {1}{2}}m\cdot {\vec {v}}^{\,2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89676a9f7f4fb88a0868f83b050e1fde59a52e8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:23.145ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle E_{\text{kin}}={\frac {{\vec {p}}^{\,2}}{2\,m}}={\frac {1}{2}}m\cdot {\vec {v}}^{\,2}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Spezielle_Relativitätstheorie">Spezielle Relativitätstheorie</h3></div>

Nach der <a href="Relativit%C3%A4tstheorie" title="Relativitätstheorie">Relativitätstheorie</a> ist der Impuls eines mit der Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy"> bewegten Körpers mit Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/501173910e6da8425b4e9d44a4e8643620bc2464.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.301ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m>0}" loading="lazy"> durch

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}={\frac {m\cdot {\vec {v}}}{\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}=\gamma \cdot m\cdot {\vec {v}}\qquad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/168d0049f887f127168625f912d00b3d7b39ce55.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; margin-left: -0.089ex; width:29.721ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}={\frac {m\cdot {\vec {v}}}{\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}=\gamma \cdot m\cdot {\vec {v}}\qquad }" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}}">

<mfrac>

<msqrt>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/826d139bcd2171269c336b22f2f81842e665e14f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:14.569ex; height:8.009ex;" alt="{\displaystyle \ \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

gegeben. Darin ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> die <a href="Lichtgeschwindigkeit" title="Lichtgeschwindigkeit">Lichtgeschwindigkeit</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"> der <a href="Lorentz-Faktor" title="Lorentz-Faktor">Lorentz-Faktor</a>. Der Impuls hängt von der Geschwindigkeit nichtlinear ab, er steigt bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit gegen <a href="Unendlichkeit#Unendlichkeit_in_der_Mathematik" title="Unendlichkeit">Unendlich</a>.

Allgemeingültig ist die <a href="Energie-Impuls-Relation" class="mw-redirect" title="Energie-Impuls-Relation">Energie-Impuls-Beziehung</a>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{2}-p^{2}\cdot c^{2}=m^{2}\cdot c^{4}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4359dfddb79ab7b89aa99129ae1b295cb028a961.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.232ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E^{2}-p^{2}\cdot c^{2}=m^{2}\cdot c^{4}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Für Objekte mit Masse folgt:

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E={\frac {m\cdot c^{2}}{\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fbd8f11c88744b8c1ee0eac65e2410ad11a4c48a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:14.502ex; height:8.509ex;" alt="{\displaystyle E={\frac {m\cdot c^{2}}{\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba3d414a23bf4ecfa36cdd039241efc60a5bd9e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.389ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle v=0}" loading="lazy"> folgt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3e6ac10fa45fb984d886065f959a6bdd467b5e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:5.52ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p=0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=m\cdot c^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=m\cdot c^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/80617a68b13047e006c36a92dd4f10a8053bf3db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.655ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle E=m\cdot c^{2}}" loading="lazy"> (<a href="Ruheenergie" class="mw-redirect" title="Ruheenergie">Ruheenergie</a>).

Objekte ohne Masse, zum Beispiel <a href="Photon" title="Photon">Photonen</a>, bewegen sich stets mit Lichtgeschwindigkeit. Für diese folgt aus der Energie-Impuls-Beziehung

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=p\cdot c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4aa3d3490ad6be7692a2a850230e9e7c97533a7c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.729ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E=p\cdot c}" loading="lazy"></dd></dl>

und damit ergibt sich für sie der Impuls

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p={E \over c}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8324327a8999cffdc29dce1a94de2f4763ce7cf0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; margin-left: -0.089ex; width:7.616ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle p={E \over c}.}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Elektromagnetisches_Feld">Elektromagnetisches Feld</h3></div>

<div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;">Siehe auch: <a href="Energie-Impuls-Tensor" title="Energie-Impuls-Tensor">Energie-Impuls-Tensor</a></div>

Ein <a href="Elektromagnetisches_Feld" title="Elektromagnetisches Feld">elektromagnetisches Feld</a> mit elektrischer Feldstärke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {E}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2bc18ae485a72f148e85ccbeff2b3dcdd4f5f3f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {E}}}" loading="lazy"> und magnetischer Feldstärke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {H}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17aa4b2a53bc35011373e1bfe86baf779b521329.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {H}}}" loading="lazy"> hat die <a href="Energiedichte" title="Energiedichte">Energiedichte</a>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{2}}\mu _{0}H^{2}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6fa0eed84ffde522aa83bfa7a2bba8fd6e3ad7d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:22.512ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle u={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{2}}\mu _{0}H^{2}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Dazu gehören die Energiestromdichte (<a href="Poynting-Vektor" title="Poynting-Vektor">Poynting-Vektor</a>)

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {S}}={\vec {E}}\times {\vec {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45ea4b2d305d4b0e648e3b040e623910553171ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.317ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {S}}={\vec {E}}\times {\vec {H}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und die Impulsdichte

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {g}}={\frac {1}{c^{2}}}{\vec {E}}\times {\vec {H}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c32809718b357d9867f8b9f538d5b9606d794cb1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:14.496ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {g}}={\frac {1}{c^{2}}}{\vec {E}}\times {\vec {H}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Über ein bestimmtes Volumen integriert ergeben diese drei Ausdrücke die Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy">, den Energiestrom und den Impuls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy">, die mit dem gesamten in diesem Volumen befindlichen Feld verbunden sind. Für fortschreitende ebene Wellen ergibt sich wieder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=p\,c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=p\,c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce20ba83bbe2469996b6a7287b1acb6736461d89.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.437ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E=p\,c}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

Der Impulsbegriff wurde von <a href="Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a> eingeführt: Er schreibt in den <a href="Philosophiae_Naturalis_Principia_Mathematica" title="Philosophiae Naturalis Principia Mathematica">Principia Mathematica</a>:

„Quantitas motus est mensura ejusdem orta ex velocitate et quantitate materiae conjunctim.“

</blockquote>

„Die Größe der Bewegung wird durch die Geschwindigkeit und die Größe der Materie vereint gemessen.“<a href="#cite_note-Newton_Latein-1">[1]</a>

</blockquote></div></div>

Mit „Größe der Materie“ ist die Masse gemeint, mit „Größe der Bewegung“ der Impuls. Die "Vereinigung" entspricht der Multiplikation. In die moderne Formelsprache übersetzt heißt der Text

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=vm}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce4567a96506fbc142e9b02ce69ea48745c3130a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:7.525ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p=vm}" loading="lazy">,</dd></dl>

was, bis auf die Vektorrechnung, der Definition des Impulses in der klassischen (Newtonschen) Mechanik entspricht.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Impulserhaltung">Impulserhaltung</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Impulserhaltungssatz" title="Impulserhaltungssatz">Impulserhaltungssatz</a></div>

In einem <a href="Inertialsystem" title="Inertialsystem">Inertialsystem</a> ist der Impuls eine <a href="Erhaltungsgr%C3%B6%C3%9Fe" class="mw-redirect" title="Erhaltungsgröße">Erhaltungsgröße</a>. In einem <a href="Physikalisches_System" title="Physikalisches System">physikalischen System</a>, auf das keine äußeren Kräfte wirken (in diesem Zusammenhang auch als abgeschlossenes System bezeichnet), bleibt die Summe aller Impulse der zum System gehörenden Bestandteile konstant.

Der anfängliche Gesamtimpuls ist dann also auch gleich der Vektorsumme der zu irgendeinem späteren Zeitpunkt vorhandenen Einzelimpulse. Stöße und andere Vorgänge innerhalb des Systems, bei denen sich die Geschwindigkeiten der Bestandteile ändern, enden stets so, dass dieses Prinzip nicht verletzt wird (siehe <a href="Kinematik_(Teilchenprozesse)" title="Kinematik (Teilchenprozesse)">Kinematik (Teilchenprozesse)</a>).

Die Impulserhaltung gilt auch beim unelastischen <a href="Sto%C3%9F_(Physik)" title="Stoß (Physik)">Stoß</a>. Dabei nimmt durch <a href="Plastische_Verformung" class="mw-redirect" title="Plastische Verformung">plastische Verformung</a> oder andere Prozesse die kinetische Energie zwar ab, aber der <a href="Impulserhaltungssatz" title="Impulserhaltungssatz">Impulserhaltungssatz</a> ist vom <a href="Energieerhaltungssatz" title="Energieerhaltungssatz">Energieerhaltungssatz</a> unabhängig und gilt sowohl bei elastischen als auch bei unelastischen Stößen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kraftstoß">Kraftstoß</h2></div>

Wirkt eine Kraft eine gewisse Zeit auf einen Körper, so spricht man von einem Kraftstoß. Der Kraftstoß bewirkt nach dem <a href="Newtonsche_Gesetze#Zweites_Newtonsches_Gesetz" title="Newtonsche Gesetze">Zweiten Newtonschen Gesetz</a> eine Impulsänderung des Körpers.

Ist die Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef40edff397a115ecdce7d3518001dfcc7f37d9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.771ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}}" loading="lazy"> im Zeitintervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t:=t_{2}-t_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t:=t_{2}-t_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f2525913d5f1c0c15b6e9fffc5166326bb576ed9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.149ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta t:=t_{2}-t_{1}}" loading="lazy"> (mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{1}<t_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{1}<t_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/57db42fb305491e91e9b4ed9fc6119a6bfc077d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.886ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{1}<t_{2}}" loading="lazy">) konstant, so kann die Impulsänderung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta {\vec {p}}:={\vec {p}}(t_{1})-{\vec {p}}(t_{2})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta {\vec {p}}:={\vec {p}}(t_{1})-{\vec {p}}(t_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7c148d04681525f7a3aa88b0794e43ea25ad4b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.903ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta {\vec {p}}:={\vec {p}}(t_{1})-{\vec {p}}(t_{2})}" loading="lazy"> berechnet werden als

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta {\vec {p}}={\vec {F}}\,\Delta t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f1638731cde291eff107f52f650bb5d61972a79.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.293ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta {\vec {p}}={\vec {F}}\,\Delta t}" loading="lazy">.</dd></dl>

Im allgemeinen Fall ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef40edff397a115ecdce7d3518001dfcc7f37d9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.771ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}}" loading="lazy"> zeitabhängig und die Impulsänderung durch das Zeitintegral über die Kraft zu ermitteln:

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta {\vec {p}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}(t)\,\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/52774545a2093c3c01185f3f00f840f565b8d8dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:17.807ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta {\vec {p}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}(t)\,\mathrm {d} t}" loading="lazy">.</dd></dl>

Der Zusammenhang zwischen Impulsänderung und verstrichener Zeit beträgt dann

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta {\vec {p}}={\overline {F}}\,\Delta t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4903f37417caaa89fb7e7101aa9a45eff9ff6579.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.538ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \Delta {\vec {p}}={\overline {F}}\,\Delta t}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {F}}:={\frac {1}{\Delta t}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}(t)\,\mathrm {d} t}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {F}}:={\frac {1}{\Delta t}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}(t)\,\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9735a4d49b555348b83dd2195eec64cc57aab43f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:21.208ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\overline {F}}:={\frac {1}{\Delta t}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}(t)\,\mathrm {d} t}" loading="lazy"> die mittlere Kraft, die im Zeitintervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c28867ecd34e2caed12cf38feadf6a81a7ee542.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.775ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta t}" loading="lazy"> auf den Körper wirkt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Impuls_im_Lagrange-_und_Hamilton-Formalismus">Impuls im Lagrange- und Hamilton-Formalismus</h2></div>

Im <a href="Lagrange-Formalismus" title="Lagrange-Formalismus">Lagrange-</a> und <a href="Hamiltonsche_Mechanik" title="Hamiltonsche Mechanik">Hamilton-Formalismus</a> wird der <a href="Generalisierter_Impuls" title="Generalisierter Impuls">generalisierte Impuls</a> eingeführt; die drei Komponenten des Impulsvektors zählen zum generalisierten Impuls; aber auch beispielsweise der <a href="Drehimpuls" title="Drehimpuls">Drehimpuls</a>.

Im Hamilton-Formalismus und in der <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a> ist der Impuls die zum Ort kanonisch konjugierte Variable. Der (generalisierte) Impuls wird in diesem Zusammenhang auch als kanonischer Impuls bezeichnet. Die möglichen Paare <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (q,p)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (q,p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e542f3143f252633d3d5633d5c9c9933e15dbfb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.082ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (q,p)}" loading="lazy"> von generalisierten Ortskoordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> und kanonischen Impulsen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> eines physikalischen Systems bilden in der hamiltonschen Mechanik den <a href="Phasenraum" title="Phasenraum">Phasenraum</a>.

In <a href="Magnetismus" title="Magnetismus">Magnetfeldern</a> enthält der kanonische Impuls eines geladenen Teilchens einen zusätzlichen Term, der mit dem <a href="Magnetisches_Vektorpotential" title="Magnetisches Vektorpotential">Vektorpotential</a> des <a href="Magnetische_Flussdichte" title="Magnetische Flussdichte">B-Felds</a> in Zusammenhang steht (siehe <a href="Generalisierter_Impuls" title="Generalisierter Impuls">Generalisierter Impuls</a>).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Impuls_in_strömenden_Medien">Impuls in strömenden Medien</h2></div>

<div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;">Siehe auch: <a href="Impulsstromdichte" title="Impulsstromdichte">Impulsstromdichte</a></div>

Bei kontinuierlich verteilter Masse, wie beispielsweise in der <a href="Str%C3%B6mungsmechanik" title="Strömungsmechanik">Strömungsmechanik</a>, enthält

ein kleines Gebiet um den Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db2dc6ced9cc3bc7e8b9f2707cbec033f6d3759c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}}" loading="lazy"> die Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho (t,{\vec {x}})\,\mathrm {d} ^{3}x.}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho (t,{\vec {x}})\,\mathrm {d} ^{3}x.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1baf37a646a3179c59a5729e3a573316a843010a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.925ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \rho (t,{\vec {x}})\,\mathrm {d} ^{3}x.}" loading="lazy"> Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} ^{3}x}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} ^{3}x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/208d236ed7925fce1a067a41916d6cd369db7212.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.676ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} ^{3}x}" loading="lazy"> das Volumen des Gebietes. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho (t,{\vec {x}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho (t,{\vec {x}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/096dd4669e2815de8c007870ed8d2cdb87cf8400.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.214ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \rho (t,{\vec {x}})}" loading="lazy"> ist die Massendichte und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/081750f52544ca96d01b2756648ba60053fd3f0f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.457ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})}" loading="lazy"> der Ortsvektor (Komponenten nummeriert). Sie kann sich mit der Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> ändern.

Wenn diese Masse sich mit der Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}(t,{\vec {x}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}(t,{\vec {x}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/246001975d1a621d6daf58cec89abb47da35ed6c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.188ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}(t,{\vec {x}})}" loading="lazy"> bewegt, hat sie den Impuls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho (t,{\vec {x}})\,{\vec {v}}(t,{\vec {x}})\,\mathrm {d} ^{3}x}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho (t,{\vec {x}})\,{\vec {v}}(t,{\vec {x}})\,\mathrm {d} ^{3}x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3daf3f55ea77714175205b2f0f8bf23d6776393.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.853ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \rho (t,{\vec {x}})\,{\vec {v}}(t,{\vec {x}})\,\mathrm {d} ^{3}x}" loading="lazy">. Dividiert durch das Volumen ergibt sich die Impulsdichte als Massendichte mal Geschwindigkeit: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho \,{\vec {v}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho \,{\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c701f10c634408f14f9e67c33389fedd2d1320bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.764ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \rho \,{\vec {v}}}" loading="lazy">.

Wegen der Impulserhaltung gilt für die Impulsdichte an einem festen Ort die <a href="Kontinuit%C3%A4tsgleichung" title="Kontinuitätsgleichung">Kontinuitätsgleichung</a>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial (\rho \,{\vec {v}})}{\partial t}}={\vec {f}}-\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(\rho \,{\vec {v}}\,v_{i}),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fcacbbe5c1ec050e42fd317a30f610756720ee00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:29.892ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial (\rho \,{\vec {v}})}{\partial t}}={\vec {f}}-\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(\rho \,{\vec {v}}\,v_{i}),}" loading="lazy"></dd></dl>

die besagt, dass sich die zeitliche Änderung der Impulsdichte zusammensetzt aus der auf das Volumenelement wirkende Kraftdichte (zum Beispiel der Gradient des Drucks oder das Gewicht, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}_{\text{Gravitation}}=\rho \,{\vec {g}}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mtext>Gravitation</mtext>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}_{\text{Gravitation}}=\rho \,{\vec {g}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac012e6a7d690f29d27aff70f3b38f1fd102cd56.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.135ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}_{\text{Gravitation}}=\rho \,{\vec {g}}}" loading="lazy">) und dem Impulsstrom in das Gebiet hinein und heraus.

Die <a href="Eulersche_Gleichungen_(Str%C3%B6mungsmechanik)" class="mw-redirect" title="Eulersche Gleichungen (Strömungsmechanik)">Eulerschen Gleichungen</a> sind das System von partiellen Differentialgleichungen, das zusammen mit Impulserhaltung und Energieerhaltung die Zeitentwicklung eines kontinuierlichen Systems zulässt. Die <a href="Navier-Stokes-Gleichungen" title="Navier-Stokes-Gleichungen">Navier-Stokes-Gleichungen</a> erweitern diese Gleichungen, indem sie zusätzlich Viskosität beschreiben.

Bemerkenswert an der Eulerschen Gleichung ist, dass es für den Impuls eine Erhaltungsgleichung gibt, für die Geschwindigkeit aber nicht. In der klassischen Mechanik spielt das keine besondere Rolle, da es den einfachen skalaren Zusammenhang <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e41e3b934ccee493856c6caceb07f9a14013b86.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:7.729ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}" loading="lazy"> gibt. In den relativistischen Eulergleichungen hingegen mischt in jede Vektorkomponente der <a href="Lorentz-Faktor" title="Lorentz-Faktor">Lorentz-Faktor</a>, der von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}^{2}}">

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a97de3fa85966683c9d935ff227a7e7c3665089c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.23ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}^{2}}" loading="lazy"> abhängt. Deswegen ist die Rekonstruktion des Geschwindigkeitsvektors (primitive Variablen) aus dem System von relativistischer Masse, Impuls und Energiedichte (konservierte Variablen) in der Regel mit der Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems verbunden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Impuls_in_der_Quantenmechanik">Impuls in der Quantenmechanik</h2></div>

In der <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a> spielt der Impuls eine entscheidende Rolle. Für Impuls- und Ortsbestimmung gilt die <a href="Heisenbergsche_Unsch%C3%A4rferelation" title="Heisenbergsche Unschärferelation">heisenbergsche Unschärferelation</a>, nach der ein Teilchen nicht zugleich einen genauen Impuls und einen genauen Ort haben kann. Der <a href="Welle-Teilchen-Dualismus" title="Welle-Teilchen-Dualismus">Welle-Teilchen-Dualismus</a> erfordert, bei quantenmechanischen Objekten gleichzeitig ihre Wellen- und Teilchennatur in Betracht zu ziehen. Während ein wohldefinierter Ort, aber ein wenig definierter Impuls intuitiv besser zum Teilchenverständnis passt, ist ein wohldefinierter Impuls (der <a href="Wellenvektor" title="Wellenvektor">Wellenvektor</a>) eher eine Eigenschaft der Welle. Die Dualität bildet sich mathematisch darin ab, dass man die kanonische Quantenmechanik entweder im <a href="Ortsraum" title="Ortsraum">Ortsraum</a> oder <a href="Impulsraum" title="Impulsraum">Impulsraum</a> betreiben kann (auch Ortsdarstellung und Impulsdarstellung genannt). Je nach Darstellung ist der Impulsoperator dann ein gewöhnlicher Messoperator, oder es handelt sich um einen <a href="Differentialoperator" title="Differentialoperator">Differentialoperator</a>. In beiden Beschreibungen bewirkt die Messung des Impulses die Delokalisierung des Objektes. Bei exakter Messung ist die Delokalisierung vollständig.

Die Zustände mit wohlbestimmtem Impuls heißen <a href="Eigenzustand" title="Eigenzustand">Eigenzustände</a> des <a href="Impulsoperator" title="Impulsoperator">Impulsoperators</a>. Ihre <a href="Wellenfunktion" title="Wellenfunktion">Wellenfunktionen</a> sind <a href="Ebene_Welle" title="Ebene Welle">ebene Wellen</a> mit der <a href="Wellenl%C3%A4nge" title="Wellenlänge">Wellenlänge</a>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea61dba4f570d474341b6f5ff22b0f26f52c1a87.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:7.276ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}},}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> die <a href="Planck-Konstante" title="Planck-Konstante">Planck-Konstante</a> ist. Die De-Broglie-Wellenlänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> von <a href="Materiewelle" title="Materiewelle">Materiewellen</a> freier Teilchen ist also durch den Impuls bestimmt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Dieter_Meschede" title="Dieter Meschede">Dieter Meschede</a>: <cite style="font-style:italic"><a href="Gerthsen_Physik" title="Gerthsen Physik">Gerthsen Physik</a></cite>. 24., überarbeitete Auflage. Springer, Heidelberg / Dordrecht / London / New York 2010, ISBN 978-3-642-12893-6, S. 19, 25–26, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-12894-3">10.1007/978-3-642-12894-3</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Impuls&rft.au=Dieter+Meschede&rft.btitle=Gerthsen+Physik&rft.date=2010&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-12894-3&rft.edition=24.%2C+%C3%BCberarbeitete&rft.genre=book&rft.isbn=9783642128936&rft.pages=19%2C+25-26&rft.place=Heidelberg+%2F+Dordrecht+%2F+London+%2F+New+York&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li><a href="Florian_Scheck" title="Florian Scheck">Florian Scheck</a>: <cite style="font-style:italic">Theoretische Physik 1</cite>. 8. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2007, ISBN 978-3-540-71377-7, S. 7, 8, 10.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Impuls&rft.au=Florian+Scheck&rft.btitle=Theoretische+Physik+1&rft.date=2007&rft.edition=8.&rft.genre=book&rft.isbn=9783540713777&rft.pages=7%2C+8%2C+10&rft.place=Berlin+%2F+Heidelberg+%2F+New+York&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li><a href="Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Feynman</a>, <a href="Robert_B._Leighton" title="Robert B. Leighton">Robert B. Leighton</a>, <a href="Matthew_Sands" title="Matthew Sands">Matthew Sands</a>: <cite style="font-style:italic"><a href="Feynman-Vorlesungen_%C3%BCber_Physik" title="Feynman-Vorlesungen über Physik">Lectures on Physics</a>. Volume 1</cite>. Reading, Ma. 1963, Kap. 9-1.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Impuls&rft.atitle=Kap.+9-1&rft.au=Feynman%2C+Robert+B.+Leighton%2C+Matthew+Sands&rft.btitle=Lectures+on+Physics.+Volume+1&rft.date=1963&rft.genre=bookitem&rft.place=Reading%2C+Ma." style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise_und_Anmerkungen">Einzelnachweise und Anmerkungen</h2></div>

<li id="cite_note-Newton_Latein-1"><a href="#cite_ref-Newton_Latein_1-0">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN512261393?tify=%7B%22pages%22:%5B35%5D%7D">Digitalisat der Ausgabe der Principia Mathematica von 1726.</a> Abgerufen am 7. Januar 2016.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-11-14" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Impuls&oldid=261556260">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>